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Comment classer les questions de mathématiques ?

Antoine Bodin

IREM de franche-Comté

Communication au colloque international de Kangourou sans frontières 2003

Document de travail

Sommaire




Sommaire 1


1.Introduction


Parmi les “questions de mathématiques”, nous classons les problèmes et les exercices qui relèvent, d’une façon ou d’une autre du domaine mathématique : soit qu’ils soient énoncés en langage mathématique, soit que leur traitement puisse faire, d’une façon ou d’une autre, appel aux mathématiques.

Parmi ces questions, nous trouvons les grands problèmes qui ont constitué ou constituent encore des défis pour les mathématiciens. Nous trouvons aussi les problèmes résolus depuis plus ou moins longtemps, mais qui peuvent encore, lorsqu’ils sont présentés sous une forme appropriée, constituer des défis pour les élèves, les étudiants, ou plus généralement, les amateurs de réflexion intellectuelle auxquels ils peuvent être proposés. Enfin, nous trouvons les exercices de mathématiques qui constituent surtout des moyens d’entraînement en terrain connu. Dans ce cas, on sait en général ce qu’il faut faire et, dans une certaine mesure, comment le faire… reste à le faire !

La question qui nous est posée est celle de trouver un système de classement d’un ensemble signifiant de telles questions, système qui pourrait, par exemple, être utilisée par la banque de questions du Kangourou des mathématiques, laquelle comporte plusieurs milliers de questions dont une bonne partie ont déjà été utilisées dans le cadre de cette compétition internationale.

Des solutions partielles existent déjà autour de plusieurs banques de questions et de problèmes, ainsi qu’autour de recherches plus générales sur l’enseignement des mathématiques. Le présent article sera l’occasion de présenter quelques-unes des solutions déjà utilisées et de proposer une classification pouvant répondre à l’originalité de Kangourou.

Précisons d’emblée que le Kangourou des mathématiques est essentiellement dirigé vers les élèves de l’enseignement scolaire (de l’élémentaire aux classes terminales des lycées)1. Nous en tiendrons compte dans ce texte, sans pour autant nous interdire des incursions vers les niveaux supérieurs.

Devant une telle banque de questions, l’utilisateur pourra vouloir sélectionner des questions mettant en jeu des contenus identifiés, susceptibles de contrôler telles capacités particulières, spécifiés pour un âge ou un niveau scolaire donné, etc…

Plutôt que cette entrée de type scolaire, il pourra préférer une entrée par les types de traitements susceptibles d’être mis en jeu ou par les processus mentaux susceptibles d’être activés. Nous qualifierons cette seconde approche d’entrée par l’activité mathématique.

Chacune des entrées a évidemment son intérêt et, à notre avis, un système de classification devrait intégrer ces deux entrées.

D’autres critères, transversaux à ces deux entrées méritent une attention particulière, il s’agit de la difficulté et de la complexité.

L’idée de privilégier un critère particulier, conduisant à un ordre total des questions, n’a d’intérêt que s’il s’agit de préparer une édition imprimée de l’ensemble des questions disponibles. On peut, dans ce cas utiliser plusieurs critères, mais on sera contraint de les emboîter (par exemple :

[Domaine mathématique [sous domaine [difficulté [type d’activité […]]]]

Heureusement, le recours à l’informatique permet d’envisager des classements multicritères ne supposant pas un tel ordre mais autorisant chacun à privilégier, éventuellement, le ou les critères de son choix, sans pour autant se désintéresser des autres.

On sait bien, d’autre part, que ces critères ne sont pas univoques et que certains d’entre eux (par exemple la difficulté) sont carrément subjectifs.

Dans cet article, nous allons essayer de clarifier un peu l’ensemble de ces questions.
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