Simreg est un logiciel temps réel conçu pour l'étude des asservissements. IL fournit un véritable laboratoire permettant de simuler et de commander une grande





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1. Présentation

Simreg est un logiciel temps réel conçu pour l'étude des asservissements. Il fournit un véritable laboratoire permettant de simuler et de commander une grande diversité de systèmes.

Ses principales caractéristiques sont les suivantes:

-Logiciel de simulation et/ou régulation 32 bits temps réel économique fonctionnant sur toute machine Pentium sous Windows 9X, ou sous NT/2000 en simulation, gérant des systèmes mono entrée (plus la perturbation).

-Echantillonnage de 0.1hz à plus de 20khz en régulation, selon la rapidité du calculateur hôte (5 khz possible avec Pentium 100).

-5 Modèles de procédés analogiques ou numériques paramétrés:

Modèle analogique polaire d'ordre 4

Modèle analogique polynomial d'ordre 4

Modèle numérique du premier ordre

Modèle numérique polaire d'ordre 4

Modèle numérique polynomial d'ordre 4

Tous les modèles de procédés peuvent être retardés jusqu'à 20 périodes d'échantillonnage
-12 Correcteurs analogiques ou numériques paramétrés.

Correcteur PID analogique, dérivée sur l'erreur.

Correcteur PID analogique, dérivée sur la mesure.

Correcteur analogique polaire d'ordre 4

Correcteur analogique polynomial d'ordre 4

Correcteur de Smith analogique pour systèmes à retard

Commande par relais à hystérésis variable

Correcteur PID numérique, dérivée sur l'erreur

Correcteur PID numérique, dérivée sur la mesure

Correcteur en z polaire d'ordre 4

Correcteur en z polynomial d'ordre 4.

Correcteur RST d'ordre 3.

Correcteur de Smith numérique pour systèmes à retard
Modèles analogiques ou modèles numériques
Dans Simreg, on a retenu des modèles de procédés à forme analogique et bien sûr des correcteurs analogiques. Comme le traitement temps réel fait directement appel au modèle tel qu'il est donné, il n'est pas étonnant qu'il soit très simple de définir de nouveaux modèles, traités tels quels via l'opérateur de dérivation p.

Pour finir, il faut noter que les changements de modèle ou de correcteur dans Simreg peuvent se faire instantanément, cette possibilité est offerte, mais avec des risques puisque les paramètres sont partagés par plusieurs modèles et bien sûr avec une signification différente.
1.1 Modèles Analogiques
Les modèles retenus sont très simples et courants, certes l'ordre n'est pas très élevé et limité, mais il n'est pas intéressant, si ce n'est pour des cas représentant quelques pour cent du total, de faire appel à plus que l'ordre 4. On trouvera donc les modèles suivants:
Modèle 1

Modèle 2
Ces deux modèles peuvent décrire le même système. La première forme est une forme par pôles et zéros réels (nous l'appelons forme polaire). La seconde, forme polynomiale est plus générale, mais aussi plus difficile à manipuler.

Les coefficients b0 et a0 permettent de traiter des systèmes qui ont au numérateur éventuellement un dérivateur et au dénominateur, un intégrateur (asservissement de position). De plus, il est possible d'introduire un retard pur d (delay) puisque Simreg peut simuler celui-ci jusqu'à 20 périodes d'échantillonnage. On remarquera enfin que pour des ordres plus faibles, l'annulation des coefficients correspondants suffit à la description. Par défaut, les coefficients a0 et b0 sont mis à 1, de manière à décrire la fonction de transfert sous sa forme standard. Dans ce cas, le coefficient k0 peut représentera le gain.

Il n'y a pas de butée sur les valeurs des coefficients, à part les gains k0 et k1, limités à 0, cela pour laisser la plus grande liberté à l'expérimentation, il faut donc être vigilant sur ces variations. Par ailleurs, les autres coefficients qui peuvent représenter des constantes de temps (première forme), ne peuvent être négatives dans la réalité. Mais on a laissé le libre choix pour une ouverture maximale, ces coefficients étant partagés avec les systèmes numériques.
1.2 Modèles numériques
On se rappellera qu'un modèle numérique, n'est que la représentation discrète d'un modèle analogique. On a bien sûr gardé exclusivement les modèles avec le bloqueur d'ordre 0 (BOZ), car on entend traiter en temps réel, de cas réels. Les modèles retenus en numériques sont les classiques modèles d'ordre un et jusqu'à l'ordre 4. On aurait pu traiter les modèles du premier ordre dans le second ordre (annulation du coefficient en z2 ), mais on a préféré garder la forme classique du premier ordre équipée de son BOZ afin de garder en évidence le gain statique du modèle analogique d'ordre 1.

Nous avons donc 3 formes de modèles:
Modèle 11
Modèle 12
Modèle 13
Pour le modèle 11, k0 est le même que celui du premier ordre qui a conduit à cette forme de modèle numérique.

Le second modèle a une forme intéressante, car il est facile de la déduire d'un modèle du second ordre analogique. De plus, par l'intermédiaire du module PZ intégré dans Simreg, il est possible à partir d'un modèle analogique du premier ou du second ordre (classe 0 ou 1), de trouver un modèle numérique correspondant à une fréquence d'échantillonnage adaptée et de déterminer un correcteur en z qui permette à l'ensemble de répondre à des conditions d'amortissement et d'erreur imposées. Bien que ce soit plutôt théorique que réalisable en pratique, PZ permet également de déterminer le correcteur qui mène à une réponse pile pour un système d'ordre 1 ou 2. Dans ce cas, la simulation par Simreg montre que ce n'est possible que pour des signaux indiciels de faible amplitude sous peine de saturation de la commande.
1.3 Correcteurs analogiques
Pour Simreg, cette fonction de correction est encore plus importante car elle concerne aussi bien la simulation que la régulation. On trouvera donc un total de 11 correcteurs numériques et analogiques confondus. Ce nombre peu être facilement étendu, en particulier si on veut aborder le correcteur PID sous plusieurs formes.
Modèle 1 dérivation sur l'erreur
Modèle 2 dérivation sur la mesure
Modèle 3
Modèle 4

Remarque 1 Les correcteurs 3 et 4 ont une partie constante qui n'est pas égale à 1. Il ne s'agit pas de déroger à la forme standard de la fonction de transfert, mais de pouvoir annuler ce terme constant, ce qui permet l'ajout d'un intégrateur pour le correcteur n° 4 et jusqu'à 3 intégrateurs pour le correcteur n° 3.

Remarque 2 Correcteurs PID

Il est possible d'utiliser un grand nombre de formes de modèles de PID. Par exemple, nous aurons les formes suivantes:



ou bien



Et bien d'autres formes selon que l'on combine les actions proportionnelle, intégrale et dérivée entre elles. En fait, l'action dérivée comme nous l'avons vu, n'est pas causale (du moins rigoureusement).

Prenons par exemple le correcteur suivant:



ce modèle n'étant pas causal, nous lui substituons:



,

ce qui donne:


Supposons maintenant qu'on applique ce correcteur en série sur le système suivant:

, en posant
k2=1



,

il vient:
qu'on reconnaît comme un système de classe 1 et d'ordre 2 bien connu. On pourra ainsi, en agissant sur A0, donner au système des conditions d'amortissement désirées.


1.4 Correcteurs numériques
On a retenu des correcteurs simples qui peuvent être atteints par des modèles analogiques courants.
On trouve ainsi
Modèle 11 avec dérivation sur l'erreur
Modèle 12 avec dérivation sur la mesure

Modèle 13

Modèle 14









Modèle 15 Correction polynomiale RST




Modèle 16 Compensateur de temps mort dit compensateur de Smith
Modèle 10 Il ne s'agit pas d'un modèle au sens linéaire du terme puisqu'il n'a pas de fonction de transfert, c'est une fonction relais , tout ou rien analogique ou numérique, avec hystérésis réglable

Le modèle 13 sous forme polaire est assez intéressant pour l'utilisation de la méthode de Zdan. Il est également utile car l'introduction d'intégrateurs (pôles à 1), peut facilement être compensée par des zéros proches de 1. Avec ce correcteur, il est possible de réaliser des systèmes de classe 3 qui soient stables.
1.5 Compensateur de Smith
1.5.1 Forme analogique
On trouvera ci-après la forme analogique du correcteur (compensateur) de Smith.

La fonction de transfert du système à corriger est la suivante . Le problème dans le bouclage d'un tel système, est la présence du retard dans le dénominateur qui donne un caractère instable au système. On ne peut annuler un retard, c'est impossible par causalité. On va donc s'efforcer d'en minimiser l'effet par un compensateur bien placé.
Considérons le système suivant équipé de 2 blocs de compensation
Avec les valeurs suivantes:
Il vient: et
Soit: comme
Il reste: donc et
Il suffit de remplacer C1, C2 et G par leur valeur en prenant K2=K,

ou en simplifiant:

ou encore:qui est un système simplement retardé de 

1.5.2 Forme numérique
La traduction de ceci en numérique est plus complexe bien que plus facile à réaliser concrètement qu'en analogique. En effet, la fonction C2(p) est difficile à fabriquer analogiquement, surtout pour des retard importants. Ce n'est pas un problème en numérique où tout est basé sur le retard. Nous allons transposer les fonctions analogiques en numérique, soit:

et entier (le nombre sera de toutes manières pris proche d'un entier. D'ailleurs, cela oblige à adapter au mieux la fréquence d'échantillonnage au système.
soit :

avec m = n pour compenser le retard du système.

Les calculs sont longs mais assez simples:


soit: et en remplaçant U par sa valeur:


ou soit:

posons en remplaçant, cela donne:



On remarque là encore que le retard n'apparaît pas au dénominateur, ce retard est donc un simple facteur dans le calcul.
La programmation par contre est plus lourde et porte sur U(z)

Nous avions:
soit : , soit en remplaçant:

, ce qui donne

1.6 Factorisation des polynômes
Les fonctions de transfert qui ont été présentées, sont de 2 types: les formes polynomiales qui ne sont pas factorisées et les formes polaires qui sont plus adéquates pour la maîtrise de la dynamique des systèmes. Il faudrait pouvoir, dans le cas général, passer d'une forme à une autre. Simreg n'intègre pas un transformateur général de fonctions de transfert, mais il possède un module de calcul des pôles ou des zéros par la méthode de Bairstow pour des polynômes jusqu'à l'ordre 8 comme on le verra plus loin.
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