Bibliographie Annexe 1 : Code source Méthode Des Segments Annexe 2 : Code source Méthode «Box Dimension»





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Traitement d’image

Analyse de la dimension fractale d’un jet liquide



Antoine Guilmard
DESS DLMO

2002-2003

Analyse de la dimension fractale d’un jet liquide


Bibliographie
Annexe 1 : Code source – Méthode Des Segments

Annexe 2 : Code source – Méthode « Box Dimension »

Annexe 3 : Code source – Méthode « Differential Box Dimension »


  1. Introduction



Le CORIA : Complexe de Recherche Interprofessionnel en Aérothermochimie développe des compétences internationalement reconnues sur l’imagerie non intrusive et l’étude d’écoulement de fluides.
Un moyen pour l’étude du comportement d’un fluide sous forme de jet est un système d’imagerie simple. La capture à un temps t permet de figer le fluide constituant le jet. Les séries d’images obtenues permettent ainsi l’étude entre autre de la fragmentation du jet. Comme dans tout système d’imagerie, un post-traitement numérique doit être envisagé pour extraire l’information que l’on souhaite. De nombreuses méthodes sont à disposition pour analyser les échelles des structures internes du jet. Echelle, fragmentation, structures, sont des mots qui font immédiatement penser à l’analyse fractale.
L’étude d’une image par analyse fractale consiste à mesurer la répétition de structure à une certaine échelle. Cette analyse peut donc être mise en œuvre sur le contour du jet, ou bien encore sur les niveaux de gris de l’image. L’information essentielle ainsi obtenue est la dimension fractale de l’objet considéré.
Dans ce projet, j’ai mis en œuvre trois types d’algorithmes que je détaillerai par la suite. Certains permettent une analyse globale de la dimension fractale d’une image, d’autre, permettent d’accéder à cette dimension localement dans une certaine limite bien entendu.


  1. Théorie Fractale & Dimension



    1. Historique


De nombreuses notions mathématiques ont d’abord été regardé comme des « monstres » dont on ne parlait qu’à couvert avant de les maîtriser réellement. Il en a été ainsi chez les pythagoriciens avec l’apparition des nombres irrationnels, à la Renaissance avec les nombres négatifs et complexes. Le XIXe s. est particulièrement riches en « monstres ».
C’est ainsi qu’en 1872, Karl Weierstrass créer scandale en exhibant les premiers exemples de fonctions partout continues et nulle part dérivables mais non représentables. De telles fonctions provoquèrent l’effroi chez les mathématiciens, entre autre Charles Hermite qui s’exclama « je me détourne avec horreur de cette plaie lamentable des fonctions qui n’ont pas de dérivées ».
En 1876 les travaux d’un élève de Weierstrass, Georg Cantor, remettent en cause la notion de fonction et débouchent sur un édifice entièrement repensé en liaison avec la théorie des ensembles et la topologie.
A partir de 1960, Benoît Mandelbrot développe grâce aux ordinateur une étude plus systématique de ces formes qu’il désignent d’un nouveau nom : « les fractales ». Ce mot qui se rapproche de « fractionné », « fragmenté »,  « fracturé », est à relier à une notion élémentaire : l’homothétie interne. Celle-ci fournit un outil pour construire et surtout étudier le degré de complexité de tels objets. Ses travaux débouchèrent sur la notion de dimension non entière, ou fractale.



    1. Dimension Fractale


- Quelle est la longueur de la côte de la Bretagne ?
A une telle question, il n’y a pas une bonne réponse mais plusieurs : tout dépend de l’échelle.
En effet, si l’on prend une photographie de la cote à 10 000 m d’altitude, des détails de 100 m apparaissent. A 1000 m, les détails sont alors de 10 m, la cote est plus précise, et sa longueur…plus grande. En poussant le raisonnement à des échelles de plus en plus petites, la longueur de la cote tend vers l’infini.
Plus l’instrument de mesure s’affine et plus la longueur augmente car une fraction de la cote au niveau du sol reste aussi complexe qu’à 10 000 m d’altitude. Ici apparaît la notion d’autosimilarité.
Cette propriété d’autosimilarité, se trouve dans des objets tels des segments, carrés, cubes.



  • Un segment de dimension topologique 1 est la réunion de trois segments de longueur 1/3, ou de 4 de longueur 1/4




  • Un carré de dimension topologique 2 est la réunion de neuf carrés de longueur 1/3 ou de 16 de longueur 1/4




  • Un cube de dimension topologique 3 est la réunion de 27 cubes de longueur 1/3 ou de 64 de longueur 1/4



Dans chaque cas la dimension d est liée au nombre d’éléments constituant n et au rapport d’homothétie 1/k par la relation :


Cela permet d’exprimer d :


Nous allons voir que d devient fractionnaire dans l’exemple d’une courbe particulière : la courbe de Von Koch.



    1. La courbe de Von Koch


En 1904, Helge Von Koch a trouvé une courbe continue et non dérivable qui était aisément représentable.
Cette courbe se dessine de façon récursive, en partant d'une simple ligne. A chaque étape, on divise chaque segment en 3 parties égales, et on remplace le segment central par deux segments formant un triangle équilatéral.
Le schéma suivant représente cette construction, et donne le nombre d’éléments constituant à l’échelle déterminé par le facteur d’homothétie :



Une ligne droite.






Cette figure contient 4 fois la ligne droite précédente réduite d’un facteur 3.





Cette figure contient 4 fois la figure précédente réduite d’un facteur 3,
ou bien,
16 fois la ligne droite de départ réduite d’un facteur 9.









Ainsi de suite…





La longueur diverge vers l’infini…

…dans un espace fini !



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