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3.3 L'activité


LES NOMBRES COMPLEXES
Situation :

Un résistor de résistance R = 2 ohms et une bobine réelle (inductive et résistive) sont branchés en série dans un circuit électrique, comme indiqué sur le schéma suivant. La tension aux bornes du résistor et la tension aux bornes de la bobine sont visualisées à l’oscilloscope. La première est représentée en gras et la seconde en trait fin.








  • Réglage de l'oscilloscope :

    • sensibilité verticale : 2V/division

    • balayage horizontal : 5ms/division




I. Problématique 1 : On souhaite déterminer la tension maximale délivrée par le générateur par trois méthodes différentes.
1) Méthode 1 : Utilisation des représentations graphiques

  1. Les deux signaux ont-ils la même période ? Justifier votre réponse.

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Raisonner




  1. Calculer la tension maximale aux bornes du résistor et la tension maximale aux bornes de la bobine.

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  1. A l'aide de l'annexe « Représenter un signal sinusoïdal», déterminer le décalage à l’origine  (en seconde) du signal . En déduire la phase à l’origine du signal .

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LES NOMBRES COMPLEXES



  1. A l'aide de l'annexe « Représenter un signal sinusoïdal», calculer la pulsation , puis déterminer l’expression algébrique de .


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On peut envisager une petite synthèse avec les élèves une fois que cette question a été abordée par tous les étudiants afin de s'assurer qu'ils ont tous compris l'écriture algébrique d'un signal sinusoïdal.

îdal
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  1. Reprendre les deux questions précédentes pour déterminer l’expression algébrique de .


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f) Proposer une méthode pour répondre à la problématique.

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Appel n°1 : Présenter oralement vos résultats et votre méthode

On peut envisager une petite synthèse une fois que cette question a été abordée par tous les étudiants, afin de revenir sur la représentation graphique d'une fonction et la détermination graphique d'un extremum à l'aide de la calculatrice
c:\program files (x86)\microsoft office\media\cagcat10\j0301252.wmf


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LES NOMBRES COMPLEXES



  1. Méthode 2 : Utilisation du vecteur de Fresnel







Les expressions algébriques des fonctions et , en fonction du temps t, sont données par :

(t) = 8 sin (25t + ) et (t) = 6 sin (25t + )
a) A l'aide de l'annexe « Représenter un signal sinusoïdal  », représenter ci-dessous les vecteurs de Fresnel et associés aux tensions et .

b) A l'aide de l'annexe « Représenter un signal sinusoïdal », donner le couple de coordonnées polaires des vecteurs .
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  1. A l'aide de la fiche technique « Représenter un vecteur avec Geogebra », représenter à l'aide de Geogebra les vecteurs de Fresnel et associés aux tensions et .



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  1. Représenter à l'aide de Geogebra le vecteur



Remarque: Si u et v sont des représentants respectivement des vecteurs et sous Geogebra, pour obtenir un représentant w du vecteur = + , il suffit de saisir dans la barre de saisie w = u + v

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Appel n°2 : On admet que est le vecteur de Fresnel associé à la tension délivrée par le générateur.

Répondre à la problématique en expliquant votre démarche.

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LES NOMBRES COMPLEXES



3) Méthode 3 : Utilisation des nombres complexes




Les expressions algébriques des fonctions et , en fonction du temps t, sont données par :

(t) = 8 sin (25t + ) et (t) = 6 sin (25t + )

a) A l'aide de l'annexe « Représenter un signal sinusoïdal », donner l'écriture trigonométrique des affixes de .
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  1. Déduire de la question précédente et de l'annexe « Représenter un signal sinusoïdal » l'écriture algébrique des affixes de .


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Remarque: On arrondira au centième les parties réelles et imaginaires de .


Calculer




  1. A l'aide de la fiche technique « Représenter un vecteur avec Geogebra » et de votre fichier Geogebra, vérifier l'écriture algébrique des affixes de , puis déterminer l'écriture algébrique de l'affixe z3 du vecteur .


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Quelle relation peut-on établir entre z1, z2 et z3 ?
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Remarque : L’écriture donnée par Geogebra est l’écriture algébrique d'un complexe.


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  1. A l'aide de l'annexe « Représenter un signal sinusoïdal », calculer le module de z3.


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On peut envisager une petite synthèse dans le cours avec les élèves une fois que cette question a été abordée par tous les étudiants, afin de mettre en place la notion d'écriture algébrique d'un nombre complexe, ainsi que la représentation géométrique d'un nombre complexe. On pourra aussi mettre en évidence le fait que l'on va réaliser des calculs avec ces nombres tout en donnant du sens à la somme de deux nombres complexes.

On peut aussi souligner l'efficacité de l'outil en le comparant aux deux méthodes précédentes.
Appel n°3 : Présenter oralement vos résultats. Répondre à la problématique en expliquant votre démarche.
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LES NOMBRES COMPLEXES
II. Problématique 2 : On cherche à déterminer la puissance active consommée par la bobine. 

La puissance instantanée consommée par la bobine est .

Or et R = 2 .

Donc et p(t ) = .

Si on note P le complexe égal à sont les affixes des vecteurs , la puissance active consommée par la bobine est alors la partie réelle du complexe P.


  1. A l'aide de la fiche technique « Les nombres complexes avec la calculatrice», compléter les égalités suivantes :


i2 =...........................................................

(2 + 3i) 4 = ...........................................

(2 + 3i) i = ............................................

(2 + 3i) (4 + i) = ..................................
2) En déduire la méthode permettant de calculer le produit de deux nombres complexes.

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3) Calculer à la main z1 z2. Puis vérifier à l'aide de votre calculatrice que votre résultat est cohérent.

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4) Sachant que P = , déterminer la puissance active consommée par la bobine.

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Appel n°4 : Présenter oralement vos résultats et répondre à la problématique.



On peut envisager une petite synthèse dans le cours avec les élèves une fois que cette question a été abordée par tous les étudiants, afin de définir les premières opérations sur les nombres complexes.
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