Filtrage numérique Khawla benrahab*
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Filtrage numériqueKhawla benrahab*Laboratoire d’automatique et de robotique de Constantine, Université Mentouri, Constantine , Algeria. *Email : kh.auto.ami@gmail.com Résume Les signaux complexes, sous la forme de suites dont les éléments sont des nombres complexes, sont d’une utilisation courante en traitement numérique du signal [1]. Les filtres numériques à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII), ou filtres récursifs ont des propriétés qui se rapprochent de celles des filtres analogiques et les techniques utilisées pour calculer leurs coefficients sont déduites de celles qui servent à déterminer les paramètres des filtres analogiques Avant d’aborder les méthodes de calcul des coefficients, il est utile de donner un certain nombre d’expressions générales pour les caractéristiques de ces filtres [2]. Mot clé : Signaux numériques, les filtres non récursifs, les filtres récursifs. 1. IntroductionOn appelle« filtre numérique » un système utilisé pour modifier la distribution fréquentielle d’un signal numérique selon des spécifications données. Un filtre numérique peut être vu comme un procédé de calcul permettant de transformer un signal numérique d’entrée (séquence de nombres)en un signal numérique de sortie (seconde séquence de nombres) pour obtenir la modification voulue du signal. Le problème du filtrage numérique consiste donc à déterminer l’équation régissant cette transformation des signaux numériques qui d’une part doit représenter la réponse fréquentielle spécifiée et d’autre part peut être effectivement réalisée. La transformation peut être implantée sous forme de logiciel « algorithme » ou matériel « circuits électroniques »[3].Les filtres numériques sont, pour les signaux échantillonnés, les équivalents des filtres analogiques pour les signaux continus. En raison du développement des circuits intégrés rapides, les filtres numériques deviennent plus intéressants que les filtres analogiques en apportant de nombreux avantages : précision, fiabilité, stabilité, adaptabilité et facilité de commande[4].2. Signaux numériquesUn signal discret est une suite de valeurs réelles complexes, s'il est formé de valeurs réelles, il sera dit réel, s'il est formé de valeur complexe il sera dit complexe. Un signal numérique est un signal discret et donc l'amplitude est quantifiée [5].  Figure 1 : Un signal numérique Quantifié: un nombre fini de valeurs. Echantillonné: un nombre fini des instants Cela impose que la fonction générale précédente donnant les échantillons de sortie yk, soit une combinaison linéaire des éléments xi et yi [6] :  Pour les filtres non récursifs, l’équation est donc limitée à :  un filtre numérique peut être caractérisé par sa fonction de transfert en z ou «transmittance »en z H(z) [6] :  Où dans le cas d’un filtre non-récursif :   Figure 2 : Représentation schématique d’un filtre numérique [6]. Synthèse des filtres numériques par transformation de H(p) en H(z) [7] : Le procédé le plus utilisé pour calculer la fonction de transfert d’un filtre numérique, consiste à transposer la fonction de transfert Hp(p) des on homologue analogique du plan « p »dans le plan « z »par une règle de transformation reliant p à z. Pour réaliser cette transformation et déterminer la fonction de transfert Hz(z)dans le plan z, il suffit de définir une relation , p = Fonction(z), d’où [7] :  La relation exacte entre p et z est donnée par la définition même de la transformée en z vue dans le paragraphe précédent :  soit :  De nombreuses méthodes ont été développées pour réaliser cette transformation. Elles correspondent à différents types d’analogie dans le sens où une méthode va privilégier telle ou telle propriété :gain, réponse impulsionnelle, réponse indicielle, etc. Ainsi, les principales méthodes sont les suivantes : -transformation standard ou méthode de l’invariance impulsionnelle ; -méthode de l’invariance indicielle ; -transformation adaptée ; -transformation d’Euler ou équivalence de la dérivation ; -transformation homographique ou équivalence de l’intégration. a) Transformation standard ou méthode de l’invariance impulsionnelle [7] : Par cette méthode on obtient un filtre numérique dont la réponse impulsionnelle est égale à la réponse impulsionnelle échantillonnée du filtre analogique correspondant. En considérant la fonction de transfert H(p) ou H( f ) et la réponse impulsionnelle h(t)du filtre analogique, la réponse impulsionnelle, échantillonnée à la période Te, s’exprime par :  Par conséquent la transformée en z , He(z) de he(t)est donnée par :  b) Méthode de l’invariance indicielle[7] : Par cette méthode on obtient un filtre numérique dont la réponse indicielle est égale à la réponse indicielle échantillonnée du filtre analogique correspondant. La réponse indicielle Sind(t) s’obtient en utilisant la relation suivante:  Les transformées de Laplace et en z de l’équation donnant Sind(t)sont respectivement :  et  c) Transformation adaptée [8]: Par cette méthode, appelée aussi méthode transform, on obtient un filtre numérique dont les pôles de la fonction de transfert ou transmittance sont conservés. En considérant que H(p)est sous la forme d’un produit d’éléments simples du premier ordre (filtre analogique ne présentant que des pôles), Pour un filtre quelconque s’exprimant sous la forme de r filtres du premier ordre en série, nous obtenons alors la relation complète :  f) Exemples de synthèses de filtres numériques : Nous allons synthétiser deux filtres analogiques (filtre passe-bas du premier ordre et filtre passe-bas du deuxième ordre) à l’aide des deux dernières transformations étudiées (transformation par équivalence à la dérivation et transformation par équivalence à l’intégration) [8]. • Filtre passe-bas du premier ordre : Soit la constante de temps du filtre (RC = t), la représentation en transformée de Laplace de la fonction de transfert H(p) d’un filtre passe-bas du premier ordre est :  Considérons le filtre numérique passe-bas obtenu par équivalence de la dérivation. Étant donné une période d’échantillonnage de Te, Nous obtenons ainsi H(z):  Le calcul de l’équation aux différences est alors immédiat, soit le résultat suivant :  Avec l’application numérique suivante : t =1 ms (R =1 KV, C =1 mF),et Te =100 ms, l’équation aux différences à résoudre est :  Considérons maintenant le même filtre numérique passe-bas obtenu par la méthode de l’équivalence à l’intégration. Nous obtenons ainsi H(z):  Le calcul de l’équation aux différences est alors immédiat et donne le résultat suivant :  Avec la même application numérique que précédemment : t =1 ms (R =1 KV, C =1 mF), et Te =100 ms, l’équation aux différences à résoudre est:  Les figures 3 et 4 représentent les résultats obtenus pour les deux filtres numériques en comparaison des réponses théoriques pour respectivement la réponse impulsionnelle et la réponse indicielle.  Figure3 : Réponses impulsionnelles de deux filtres numériques passe-bas du premier ordre: filtre numérique synthétisé par équivalence de la dérivation et par équivalence de l’intégration. Comparaison avec la réponse théorique[8].  Figure 4 : Réponses indicielles de deux filtres numériques passe-bas du premier ordre: filtre numérique synthétisé par équivalence de la dérivation et par équivalence de l’intégration. Comparaison avec la réponse théorique [8]. • Filtre passe-bas du deuxième ordre : En considérant une fréquence propre F0(v0 =2pF0)et un coefficient d’amortissement m, la représentation de la fonction de transfert H(p) d’un filtre passe-bas du deuxième ordre est [9] :  Considérons le filtre numérique passe-bas du deuxième ordre obtenu par équivalence de la dérivation. Étant donné une période d’échantillonnage de Te, Nous obtenons ainsi la transmittance en z suivante :  À partir de cette transmittance en z, le calcul de l’équation aux différences donne le résultat suivant :  avec les valeurs des coefficients :  et :  Avec l’application numérique suivante Te = 2 ms (Fe =500 Hz), F0 =50Hzet m =0,1; les coefficients de l’équation aux différences à résoudre sont : b1 =1,39805 b2 = −0,65770 et a0 =0,25965 Considérons le filtre numérique passe-bas du deuxième ordre obtenu par équivalence de l’intégration. Étant donné une période d’échantillonnage de Te, Nous obtenons ainsi la transmittance en z suivante [9] :  À partir de cette transmittance en z, le calcul de l’équation aux différences donne le résultat suivant :  avec les valeurs des coefficients [9] :  Avec la même application numérique suivante Te =2 ms (Fe =500 Hz), F0 =50Hz et m = 0.1; les coefficients de l’équation aux différences à résoudre sont : b1 =1,55193 b2 = −0,89181 a0 = a2 =0,084971, a1 =0,169942  Figure5 : Réponses impulsionnelles de deux filtres numériques passe-bas du deuxième ordre: filtre numérique synthétisé par équivalence de la dérivation et par équivalence de l’intégration [9]. 3. Conclusion • C’est donc un filtrage à temps discret dont la réponse en fréquence s’obtient par troncature de Ha à la bande (-B, B) suivie d’une division de l’axe des fréquences par Fe [9]. 4. Bibliographie [1] Marcos S., A network of adaptive Kalman filters for data channel equalization. IEEE Transactions on Signal Processing, 2000, vol. 48 chap. 9. [2]F., Cottet., Traitement des signaux et acquisition de données, Dunod, 1997, p-344. [3] Jérôme B. Localisation Commerciale Multiple : une application du traitement du signal et du modèle p-médian au développement d'un réseau de magasins de produits biologiques. Thèse de doctorat d’Université de Rennes1 :Université de Rennes 1, 2002, 388 p. [4] Bidon S., Ovarlez J., Marcos S., Editorial. Publié in Traitement du Signal, 2011, vol. 28, p.7-9 . [5]S.,Mongo., signaux-et-systemes-numeriques. [en ligne]. In : genie-electrique4, traitement-du-signal Site disponible sur : http://www.mongosukulu.com/index.php/en/contenu/genie-electrique4/traitement-du-signal/694-signaux-et-systemes-numeriques. (Page consultée le 15/12/2014). [6] Marcos S. and Roussel-Ragot P. and Personnaz L. and Nerrand O. and Dreyfus G. and Vignat C., Réseaux de neurones pour le filtrage non linéaire adaptatif. Revue Traitement du Signal, 1993, vol. 8, chap. 6 [7]F., De coulon., Théorie et traitement dessignaux, Dunod, 1984, p-539. [8] M., Bellanger., Traitement du Signal, Dunod, 2000 , p-231. [9]M., Bellanger., Traitement numérique du signal, 6eédition, Dunod, 1998, p.447. |
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